resourceType:"ocw" authors:"Pascual Lucas Saorín"
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Published by: Universidad de Murcia | Language: Spanish
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Esta asignatura está dedicada a iniciarse en el estudio de las variedades diferenciables, como generalización natural del concepto de superficie, que ya debe conocer el estudiante tras el estudio en tercer curso de la asignatura Geometría Diferencial. Cuando trabajamos con superficies de R3, o en general con subvariedades del espacio euclídeo Rn, estamos disfrutando de la ventaja de la simplicidad conceptual; en general, estamos más cómodos tratando con subespacios de Rn que con espacios métricos o topológicos arbitrarios. Sin embargo, esta aproximación a las variedades diferenciables tiene la desventaja de que importantes ideas están algunas veces ocultas por el familiar ambiente de Rn. Por esta razón, y tras haber motivado las variedades diferenciables con las superficies k-dimensionales de Rn, nos introduciremos en el estudio general de este concepto. La idea fundamental consiste en eliminar la dependencia del espacio euclídeo ambiente. El aspecto global de la Geometría Diferencial tiene su origen en el mismo punto de partida de la Topología Algebraica con H. Poincaré (1854-1912), y su desarrollo inicial está estrechamente ligado a la figura de E. Cartan (1869-1951), quien al poner en escena la teoría general de conexiones (método de la referencia móvil) coloca el carácter global de la Geometría Diferencial en su punto álgido, restando al aspecto local el protagonismo propio de la época, y estableciendo las diferencias de ambos aspectos, global y local, que aún admitiendo estudios por separado, de las interrelaciones entre ambos se extrae la gran riqueza de resultados propios de la Geometría Diferencial. Fue este interés por el estudio de las propiedades globales sobre una variedad lo que obligó a puntualizar adecuadamente las definiciones básicas. El primer intento serio fue el libro de O. Veblen (1880-1960) y J.H.C. Whitehead (1904-1960) titulado Foundations of Differential Geometry (1932), cuya idea esencial era la de definir rigurosamente las relaciones entre la variedad y los sistemas de coordenadas que se introducen en ella para su estudio, haciendo una clara distinción entre ambos conceptos. Se formula por primera vez, de manera explícita, que las variedades que estudia la Geometría Diferencial son un conjunto de dos elementos: primero, la variedad como conjunto de puntos, para cuya definición y tratamiento la Topología suministra los útiles y los medios necesarios; y segundo, un cierto conjunto de sistemas de coordenadas admisibles que permiten el estudio diferencial de la variedad y entre los cuales deberán existir ciertas fórmulas de transformación, o ciertas relaciones de equivalencia, que los vinculen entre sí y permitan pasar de unos sistemas a otros. Esta idea se fue puliendo y simplificando hasta llegar a la definición actual de variedad diferenciable, la cual es el resultado de sucesivos perfeccionamientos debidos principalmente a H. Whitney (Differentiable manifolds, Ann. of Math., 37 (1936), 645-480), C. Chevalley (Theory of Lie groups, Princeton, 1946), S.S. Chern (Topics in differential geometry, Princeton, 1951) y G. De Rham (Variétés différentiables, Hermann, Paris, 1955). A partir de mediados de los años 50 la definición de variedad diferenciable es ya usual en todos los textos de Geometría Diferencial.
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